В этой статье мы рассмотрим интересную задачу о троих мальчиках и их яблоках, которая не только способствует развитию логического и аналитического мышления, но и предоставляет возможность применять арифметику и алгебру для решения проблем. Предлагаем вам разобраться в этой головоломке и научиться решать подобные задачи.
Мальчики и яблоки
Три весёлых мальчугана яблоки делили.
Душистые плоды друг другу подарили.
Первый мальчик раздаёт, яблоки считает:
«Столько, сколько есть у вас, каждый получает».
Второй и третий, повторив, яблоки раздали.
И после всех обменов плоды все посчитали.
У каждого по восемь румяных тех плодов.
Чудесная загадка восхитительных садов!
Попробуйте загадку весёлую решить,
Число плодов в начале у друзей определить.
Итак:
I. Арифметический способ.
Познакомимся с общими положениями, позволяющими приступить к решению головоломки.
Шаг 1. Анализ выражения «столько же».
Ключевое понятие: выражение «столько же» означает удвоение исходного числа, то есть, увеличение его в два раза.
Математическая операция: чтобы найти первоначальное число, надо разделить итоговое значение на 2.
Практическое применение: используя это правило, мы можем определить, сколько плодов было у двух мальчиков до того, как они получили их от третьего.
Шаг 2. Работа с распределением яблок.
Исходная ситуация: один из трёх друзей отдаёт часть своих плодов двум другим.
Обратная задача: чтобы узнать, сколько фруктов у него было до раздачи, нужно к оставшемуся количество прибавить те яблоки, которые он раздал.
Логическое обоснование: при сложении оставшихся и отданных плодов мы получаем исходное количество, так как эти две части в сумме дают начальное их число.
Такой подход позволяет последовательно и логично решить задачу, опираясь на базовые математические принципы и правила работы с числами.
Алгоритм решения
Два перечисленных шага приводят к алгоритму решения, состоящего из двух последовательных действий:
- Нахождение числа яблок у двух мальчиков, получивших их от третьего. Находится делением имеющихся у них после очередной раздачи числа фруктов на 2. Таким образом получаем, сколько яблок у них было до того, как они получили плоды от третьего своего товарища. (/2)
- Нахождение числа яблок у раздающего паренька. Находится сложением имеющегося у него числа плодов с отданными двум другим. (+)
Задачу решаем с конца, так как известно итоговое значение количество яблок у каждого из товарищей — 8.
Третья раздача. Получившие — 1-й и 2-й мальчики (/2), раздающий — 3-й. (+).
Вторая раздача. Получившие — 1 и 3 (/2), раздающий — 2 (+).
Первая раздача. Получившие — 2 и 3 (/2), раздающий -1 (+).
Вот что получилось в итоге всего обмена, в самом конце.
Такое количество плодов было у ребят перед последней, третьей передачей.
Перед второй передачей.
Перед первой передачей, изначально.
Ответ: 13; 7; 4.
II. Алгебраический способ.
Обозначим начальное количество яблок:
У первого мальчика — x.
У второго мальчика — y.
У третьего мальчика — z.
Составим систему уравнений, отслеживая изменения количества плодов после каждой раздачи:
- Первая раздача (первым мальчиком):
У первого остаётся: x − y − z.
У второго становится: 2y.
У третьего становится: 2z.
2. Вторая раздача (вторым мальчиком):
У первого становится: 2(x − y − z).
У второго остаётся: 2y − (x − y − z) − 2z = 3y − x − z.
У третьего становится: 4z.
3. Третья раздача (третьим мальчиком):
У первого становится: 4(x − y − z).
У второго становится: 2(3y − x − z).
У третьего остаётся: 4z − 2(x − y − z) − (3y − x − z) = 7z − x − y .
4. По условию после всех раздач у каждого по 8 яблок.
1-й м.: 4(x − y − z) = 8;
x − y − z = 8. (1)
2-й м.: 2(3y − x − z) = 8;
3y − x − z = 4. (2)
3-й м.: 7z − x − y = 8. (3)
5. Система уравнений:
6. Решаем систему уравнений.
{Шаг 1.} Решаем первое уравнение относительно x:
x = 2 + y + z.
{Шаг 2.} Подставим x = 2 + y + z во второе уравнение:
3y − ( 2 + y + z) − z = 4.
Упростим:
3y − 2 − y − z − z = 4;
2y − 2z − 2 = 4.
Добавим 2 к обеим сторонам:
2y − 2z = 6.
Разделим на 2:
y − z = 3.
Выразим y:
y = z + 3.
{Шаг 3.} Подставим x = 2 + y + z в третье уравнение:
7z − (2 + y + z) − y = 8.
Упростим:
7z − 2 − y − z − y = 8;
6z − 2 − 2y = 8.
Добавим 2 к обеим сторонам:
6z − 2y = 10.
Разделим на 2:
3z − y = 5.
Выразим y:
y = 3z − 5.
{Шаг 4.} Теперь приравняем два полученных выражения для y:
z + 3 = 3z − 5
Решим для z:
3 + 5 = 3z − z;
8 = 2z;
z = 4 (ябл.)
{Шаг 5.} Подставим z = 4 в y = z + 3:
y = 4 + 3 = 7(ябл.)
{Шаг 6.} Подставим y = 7 и z = 4 в x = 2 + y + z:
x = 2 + 7 + 4 = 13(ябл.)
Проверка:
Всего яблок: 13 + 7 + 4 = 24.
После всех раздач у каждого по 8 плодов: 8 × 3 = 24.
Ответ: изначально у первого мальчика было 13, у второго — 7, у третьего — 4.
В видео представлен арифметический способ:
