Представьте себе уютный итальянский городок, где на местном рынке кипит жизнь. Здесь, среди ароматных специй, свежих овощей и фруктов, скрываются великолепные возможности заняться математикой и придумать различные головоломки и занимательные задачи. Например, о трёх покупателях, трёх наборах продуктов и о трёх различных стоимостях. Сможем ли мы разгадать цену каждого товара?
В маленьком южном итальянском городке,
Где солнце греет, а рынок шумит,
Три красавицы-хозяйки пришли налегке:
Наполнить корзинку каждая спешит.
Покупка у первой — четыре томата,
Три баклажана и два апельсина.
Всего заплатив двадцать девять чентезимо,
Осталась довольна, прошла как графиня!
В корзине второй лежат шесть помидоров,
Два баклажана и три апельсина.
Отдав продавцу тридцать шесть чентезимо,
Танцует тарантеллу. Вот это картина!
Третья заплатила сорок пять чентезимо
За три помидора и пять баклажанов.
А ещё у неё четыре апельсина.
Поёт от счастья песню, ей вторит мандолина!
Теперь, милый умник, посчитай в тишине,
Сколько стоит помидор, апельсин, баклажан?
Только, прошу, не ошибись в цене,
Докажи, мой друг, что мысли ты — титан!
Покупка овощей и фруктов
При покупке овощей и фруктов известны три случая:
- первая покупка овощей (4 помидора, два баклажана) и фруктов (2 апельсина) за 29 чентезимо;
- вторая покупка овощей (6, 2) и фруктов (3) за 36 чентезимо;
- третья покупка овощей (3, 5 ) и фруктов (4) за 45 чентезимо.
Чентезимо — разменная монета в Италии и некоторых других стран (Сомали, Эритрея), равная одной сотой лиры. Вышла из употребления в середине XX века.
Предлагаемую задачу можно решить арифметическим и алгебраическим способами.
- Арифметика
При решении головоломки о покупке овощей и фруктов используем арифметических метод предположения (или метод подстановки). Он используется для текстовых задач, когда нужно найти неизвестные величины, связанные арифметическими действиями. Суть в том, чтобы сначала взять первые числа из натурального ряда для переменных, вычислить промежуточные результаты, а затем скорректировать их в соответствии с условием задачи для получения точного ответа. Такая вот своеобразная математическая прикидка. Это помогает быстро проверить гипотезы без сложных уравнений, особенно в задачах на сравнение или пропорции.
Предположение № 1.
Допустим, что покупка овощей и фруктов производилась по следующим ценам:
Помидор — 1 (ч.), баклажан — 2 (ч.), апельсин — 3 (ч.)
Считаем общую стоимость каждой покупки овощей и фруктов:
Первая: 4×1 + 3×2 + 2×3 = 4 + 6 + 6 = 16 руб. ≠ 29 (ч.)
Вторая: 6×1 + 2×2 + 3×3 = 6 + 4 + 9 = 19 руб. ≠ 36 (ч.)
Третья: 3×1 + 5×2 + 4×3 = 3 + 10 + 12 = 25 руб. ≠ 45 (ч.)
Это предположение не работает, цены слишком низкие, и общие суммы сильно меньше заданных. Увеличим каждую цену на единицу.
Предположение № 2.
Помидор — 2 (ч.), баклажан — 3 (ч.), апельсин — 4 (ч.)
Считаем общую стоимость каждой покупки овощей и фруктов:
Первая: 4×2 + 3×3 + 2×4 = 8 + 9 + 8 = 25 руб. ≠ 29 (ч.) Меньше 29 на 4 (ч.)
Вторая: 6×2 + 2×3 + 3×4 = 12 + 6 + 12 = 30 руб. ≠ 36 (ч.) Меньше 36 на 6 (ч.)
Третья: 3×2 + 5×3 + 4×4 = 6 + 15 + 16 = 37 руб. ≠ 45 (ч.) Меньше 45 на 8 (ч.)
Это предположение тоже не работает, но суммы уже больше приближены к заданным. Разности (4, 6, 8) говорят о том, что один из товаров стоит дороже. Какой именно из овощей и фруктов? Следующее рассуждение поможет в этом разобраться. Рассуждение состоит в следующем: деление разницы каждой покупки на количество одного из товаров должно давать одно и то же число, на которое и была занижена настоящая цена товара. Остаётся вычислить, пропорциональны ли разницы 4, 6 и 8 количеству товара в каждой покупке?
Может, помидоры «скрывают» лишние деньги? Если это так, то должна быть единая пропорция.
| № покупки овощей и фруктов | Разность | Количество | Пропорция |
| 1. | 4 | 4 | 4/4 = 1 |
| 2. | 6 | 6 | 6/6 = 1 |
| 3. | 8 | 3 | 8/3 ≈ 2,67 |
Пропорция «ломается» на третьей покупке. Помидоры не могли «скрыть» настоящую цену. Значит, она не занижена, и 2 чентезимо соответствуют условию задачи.
Проверяем баклажаны.
| № покупки овощей и фруктов | Разность | Количество | Пропорция |
| 1. | 4 | 3 | 4/3 ≈ 1,3 |
| 2. | 6 | 2 | 6/2 = 3 |
| 3. | 8 | 5 | 8/5 = 1,6 |
Снова нет единой пропорции. Их цена — 3 чентезимо тоже верна.
Проверка апельсинов.
| № покупки овощей и фруктов | Разность | Количество | Пропорция |
| 1. | 4 | 2 | 4/2 = 2 |
| 2. | 6 | 3 | 6/3 = 2 |
| 3. | 8 | 4 | 8/4 = 2 |
Здесь единая пропорция у всех трёх закупок: каждый апельсин добавляет ровно 2 (ч.) к недостаче. Нет ломающихся случаев! Это значит, что предполагаемая цена 4 (ч.) занижена именно на 2 (ч.). Теперь можно найти настоящую цену: 4 + 2 =6 (ч.). А помидоры и баклажаны не влияют на разницу.
Остаётся сделать проверку.
Проверка
Помидор — 2 (ч.), баклажан — 3 (ч.), апельсин — 6 (ч.)
Считаем общую стоимость каждой покупки овощей и фруктов:
Первая: 4×2 + 3×3 + 2×6 = 8 + 9 + 12 = 29 (ч.) — идеально!
Вторая: 6×2 + 2×3 + 3×6 = 12 + 6 + 18 = 36 (ч.) — супер!
Третья: 3×2 + 5×3 + 4×6 = 6 + 15 + 24 = 45 (ч.) — всё сходится!
2. Алгебра — составление и решение системы уравнений.
Для решения задачи о закупке овощей и фруктов введём следующие обозначения переменных:
x — цена помидора;
y — цена баклажана;
z — цена апельсина.
Решить систему можно методом подстановки, методом сложения и методом Крамера. Метод Крамера заключается в использовании матрицы — прямоугольной таблицы чисел (или символов), организованных в строки и столбцы. Матрица используется для упрощения расчётов в алгебре, геометрии и программировании. Габриэль Крамер — швейцарский математик XVIII века (1704 — 1752).
Решая задачу различными способами, получаем следующие цены: помидоры — 2 чентезимо, баклажаны — 3 чентезимо (овощи), апельсины — 6 чентезимо (фрукты).
Пробовали решить сами? Для проверки посмотрите наше видео. Если любите математические головоломки с овощами и фруктами, ищите больше на нашем сайте в разделе «Головоломки». Подписывайтесь — свежие идеи как свежие апельсины!
