Примерное время на чтение статьи: 5 минуты

В этой статье мы рассмотрим интересную задачу о троих мальчиках и их яблоках, которая не только способствует развитию логического и аналитического мышления, но и предоставляет возможность применять арифметику и алгебру для решения проблем. Предлагаем вам разобраться в этой головоломке и научиться решать подобные задачи.

Мальчики и яблоки

Три весёлых мальчугана яблоки делили.

Душистые плоды друг другу подарили.

Первый мальчик раздаёт, яблоки считает:

«Столько, сколько есть у вас, каждый получает».

Второй и третий, повторив, яблоки раздали.

И после всех обменов плоды все посчитали.

У каждого по восемь румяных тех плодов.

Чудесная загадка восхитительных садов!

Попробуйте загадку весёлую решить,

Число плодов в начале у друзей определить.

Итак:

I. Арифметический способ.

Познакомимся с общими положениями, позволяющими приступить к решению головоломки.

Шаг 1. Анализ выражения «столько же».

Ключевое понятие: выражение «столько же» означает удвоение исходного числа, то есть, увеличение его в два раза.

Математическая операция: чтобы найти первоначальное число, надо разделить итоговое значение на 2.

Практическое применение: используя это правило, мы можем определить, сколько плодов было у двух мальчиков до того, как они получили их от третьего.

Шаг 2. Работа с распределением яблок.

Исходная ситуация: один из трёх друзей отдаёт часть своих плодов двум другим.

Обратная задача: чтобы узнать, сколько фруктов у него было до раздачи, нужно к оставшемуся количество прибавить те яблоки, которые он раздал.

Логическое обоснование: при сложении оставшихся и отданных плодов мы получаем исходное количество, так как эти две части в сумме дают начальное их число.

Такой подход позволяет последовательно и логично решить задачу, опираясь на базовые математические принципы и правила работы с числами.

Алгоритм решения

Два перечисленных шага приводят к алгоритму решения, состоящего из двух последовательных действий:

1. Нахождение числа яблок у двух мальчиков, получивших их от третьего. Находится делением имеющихся у них после очередной раздачи числа фруктов на 2. Таким образом получаем, сколько яблок у них было до того, как они получили плоды от третьего своего товарища. (/2)
2. Нахождение числа яблок у раздающего паренька. Находится сложением имеющегося у него числа плодов с отданными двум другим. (+)

Задачу решаем с конца, так как известно итоговое значение количество яблок у каждого из товарищей — 8.

Третья раздача. Получившие — 1-й и 2-й мальчики (/2), раздающий — 3-й. (+).

Вторая раздача. Получившие — 1 и 3 (/2), раздающий — 2 (+).

Первая раздача. Получившие — 2 и 3 (/2), раздающий -1 (+).

Вот что получилось в итоге всего обмена, в самом конце.

Такое количество плодов было у ребят перед последней, третьей передачей.

Перед второй передачей.

Перед первой передачей, изначально.

Ответ: 13; 7; 4.

II. Алгебраический способ.

Обозначим начальное количество яблок:

У первого мальчика — x.

У второго мальчика — y.

У третьего мальчика — z.

Составим систему уравнений, отслеживая изменения количества плодов после каждой раздачи:

1. Первая раздача (первым мальчиком):

У первого остаётся: x − y − z.

У второго становится: 2y.

У третьего становится: 2z.

2. Вторая раздача (вторым мальчиком):

У первого становится: 2(x − y − z).

У второго остаётся: 2y − (x − y − z) − 2z = 3y − x − z.

У третьего становится: 4z.

3. Третья раздача (третьим мальчиком):

У первого становится: 4(x − y − z).

У второго становится: 2(3y − x − z).

У третьего остаётся: 4z − 2(x − y − z) − (3y − x − z) = 7z − x − y .

4. По условию после всех раздач у каждого по 8 яблок.

1-й м.: 4(x − y − z) = 8;

x − y − z = 8. (1)

2-й м.: 2(3y − x − z) = 8;

3y − x − z = 4. (2)

3-й м.: 7z − x − y = 8. (3)

5. Система уравнений:

6. Решаем систему уравнений.

{Шаг 1.} Решаем первое уравнение относительно x:

x = 2 + y + z.

{Шаг 2.} Подставим x = 2 + y + z во второе уравнение:

3y − ( 2 + y + z) − z = 4.

Упростим:

3y − 2 − y − z − z = 4;

2y − 2z − 2 = 4.

Добавим 2 к обеим сторонам:

2y − 2z = 6.

Разделим на 2:

y − z = 3.

Выразим y:

y = z + 3.

{Шаг 3.} Подставим x = 2 + y + z в третье уравнение:

7z − (2 + y + z) − y = 8.

Упростим:

7z − 2 − y − z − y = 8;

6z − 2 − 2y = 8.

Добавим 2 к обеим сторонам:

6z − 2y = 10.

Разделим на 2:

3z − y = 5.

Выразим y:

y = 3z − 5.

{Шаг 4.} Теперь приравняем два полученных выражения для y:

z + 3 = 3z − 5

Решим для z:

3 + 5 = 3z − z;

8 = 2z;

z = 4 (ябл.)

{Шаг 5.} Подставим z = 4 в y = z + 3:

y = 4 + 3 = 7(ябл.)

{Шаг 6.} Подставим y = 7 и z = 4 в x = 2 + y + z:

x = 2 + 7 + 4 = 13(ябл.)

Проверка:

Всего яблок: 13 + 7 + 4 = 24.

После всех раздач у каждого по 8 плодов: 8 × 3 = 24.

Ответ: изначально у первого мальчика было 13, у второго — 7, у третьего — 4.

В видео представлен арифметический способ: